La matière en présence d'un champ magnétique

La matière en présence d'un champ magnétique

Plan

1. Forces de Laplace. Loi de Biot et Savart 
1.1. Forces de Laplace 
1.2. Loi de Biot et Savart 
1.3. Propriétés du champ magnétique 
1.4. Energie potentielle 
2. Le phénomène d'induction 
2.1. Expériences significatives 
2.2. Etude théorique quantitative 
3. Les milieux magnétiques 
3.1. Dipôle magnétique 
3.2. Aimantation. Excitation magnétique 
3.3. Potentiel vecteur créé par une aimantation 
3.4. Théorème d'Ampère 
3.5. Energie magnétique 
4. Conséquences du phénomène d'induction 
4.1. Exemple élémentaire de transformation énergie électrique - énergie mécanique 
4.2. Auto-induction. Induction mutuelle 
4.3. Retour sur l'énergie magnétique

Lorsque deux circuits parcourus par des courants électriques constants sont placés au " voisinage " l'un de l'autre, ils sont soumis à des actions. L'étude de ces actions est le domaine de la magnétostatique. 
La densité volumique de charges dans un conducteur parcouru par un courant constant est nul si bien que l'origine des forces ne peut être attribué à l'existence de champs électriques. 
Enfin ce phénomène ne se limite pas aux circuits électriques, les substances aimantées sont le siège d'interactions de même nature.

1. Forces de Laplace. Loi de Biot et Savart 
 
Résultats expérimentaux

On considère deux fils rectilignes parallèles de longueur " infinie " parcourus par des courants continus , distants de d. Sur un élément de circuit , il s'exerce une force , dans le plan des deux fils, telle qu'elle est représentée sur la figure, d'intensité .  Sur un élément de circuit , il s'exerce une force , dans le plan des deux fils, telle qu'elle est représentée sur la figure, d'intensité .

 

Les fils s'attirent si les courants sont de même sens et se repoussent dans le cas contraire. 
Cette formule est importante, elle sert à la définition de l'unité d'intensité électrique l'ampère. 
Deux fils rectilignes indéfinis distants de 1 m, parcourus par des intensités électriques de 1 A exercent entre eux sur des portions de 1 m des forces égales à . Cette définition revient à dire que , perméabilité magnétique du vide, est égale à .

1.1. Forces magnétiques dites de Laplace

Une façon générale de présenter les forces qui s'exercent entre circuits électriques est de considérer qu'un circuit électrique 1 crée en tout point de l'espace un champ (induction) magnétique  tel que, sur un élément filiforme  d'un circuit 2 parcouru par un courant , il s'exerce une force . Ce résultat est connu sous le nom de Force de Laplace.
Le champ  fait l'objet de la loi de Biot et Savart obtenue en généralisant les résultats expérimentaux de l'interaction de deux fils rectilignes parallèles. 
Pour un circuit, il convient d'intégrer à tous les éléments du circuit, il convient aussi de calculer le moment des forces. 
Dans le cas d'un particule de charge q animée d'une vitesse  dans un champ magnétique , la force de Laplace s'écrit  .

1.2. Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart donne l'expression du champ magnétique créé, en tout point de l'espace, par un circuit électrique filiforme parcouru par un courant , à savoir  (). 
Pour une particule de charge q animée d'une vitesse , la loi de Biot et Savart s'écrit . 
Dans la loi de Biot et Savart,  représente le vecteur unitaire et r la distance entre l'élément  (où la charge est en mouvement) et le point où on considère le champ magnétique. 
Pour des distributions volumiques ou surfaciques de courant, l'expression de la force de Laplace et la loi de Biot et Savart doivent être réécrites. Les termes  deviennent  pour un courant volumique et  pour un courant surfacique, les intégrations seront à faire suivant le volume du conducteur ou sa surface.

Le champ magnétique est créé par des charges en mouvement et agit sur des charges en mouvement.

1.2.1. Remarque sur la loi de Biot et Savart. Forces électromagnétiques dites de Lorentz

La notion de mouvement est relative. Dans la présentation de la loi de Biot et Savart, on s'est placé dans un référentiel 1 où le conducteur est immobile et on a considéré le mouvement de charges positives fictives (en fait le mouvement est celui de charges électriques de vitesses opposées et de charges opposées - électrons libres -). Nous aurions pu considérer un référentiel lié aux charges positives fictives, le conducteur (donc les ions positifs) aurait été en mouvement et c'est à ce mouvement de charges qu'aurait été attribuée l'origine du champ magnétique. 
Prenons le cas d’une seule charge en mouvement dans un référentiel 1, elle crée, en tout point de l'espace, un champ magnétique  et un champ électrique . 
Plaçons nous dans un référentiel 0 lié à la charge. Nous sommes ramenés à un problème d'électrostatique et la charge immobile crée, en tout point de l'espace, un champ électrostatique coulombien . 
En Relativité on résout le problème du passage du référentiel 0 au référentiel 1. A ce stade, nous nous contenterons de dire, qu'en négligeant les propagations c'est à dire la vitesse de la charge devant la vitesse c de propagation des interactions dans le vide, on trouve pour  l'expression du champ coulombien et pour  la loi de Biot et Savart.

Si, dans un référentiel, coexistent un champ électrique  et un champ magnétique , une charge électrique q est soumise à la superposition des forces électrique et magnétique dite force électromagnétique de Lorentzégale à 

1.3. Propriétés du champ magnétique

Le champ magnétique obéit à deux propriétés que nous ne démontrons pas.

• La conservation du flux qui sous sa forme locale s'exprime  et sous sa forme intégrale  (application du théorème d'Ostrogradsky pour passer d'une forme à l'autre).

• Le théorème d'Ampère

Sous sa forme intégrale, il s'exprime :   où il ne faut considérer que les circuits " embrassés ou enlacés " par le contour fermé , où les courants  ont un caractère algébrique déterminé par la règle du tire-bouchon ou celle du bonhomme d'Ampère.

Dans l'exemple de la figure  
Localement le théorème d'Ampère s'écrit  (application du théorème de Stokes pour passer d'une forme à l'autre).

1.3.1. Potentiel vecteur . Relation de jauge de Coulomb

La relation  entraîne l'existence d'un vecteur , appelé potentiel vecteur, défini par . 
On remarquera que le potentiel vecteur n'est pas défini de manière unique. Connaissant un potentiel vecteur vérifiant la relation de définition, on peut former un autre potentiel vecteur  en ajoutant à  le gradient d'une fonction scalaire quelconque. 
On dit que  n'est défini qu'à un gradient additif près. 
En reportant le potentiel vecteur dans l'expression locale du théorème d'Ampère, on obtient : 
 
La jauge de Coulomb (qui entre dans le cadre plus générale de la jauge de Lorentz) consiste à chercher (nous ne donnons pas la démonstration, purement mathématique, sur la validité à faire cela) une solution  avec la condition supplémentaire  . 
Ainsi le potentiel vecteur obéit à l'équation aux dérivées partielles  qui donne trois relations scalaires analogues à  . 
Pour un circuit filiforme parcouru par un courant I, le potentiel vecteur s'écrit  
Pour des courants surfaciques ou volumiques, on peut écrire des formules analogues en introduisant  ou .

1.3.2. Exemples de calcul du champ magnétique

En magnétostatique, il existe un certain nombre d'exercices incontournables pour une bonne compréhension des idées. Sans être exhaustif, nous citerons : 
-le champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie et son flux à travers une spire rectangulaire, 
- le champ magnétique sur l'axe d'une spire et sa circulation suivant un contour fermé comprenant l'axe de la spire, 
- le champ magnétique créé par un solénoïde à spires jointives de longueur finie ou infinie, 
- le potentiel vecteur d'un champ magnétique uniforme, 
- le champ magnétique et le potentiel vecteur d'une nappe volumique de courant, d'une nappe surfacique, 
- le dipôle magnétique.

1.4. Energie potentielle

Soit un circuit ( C ) parcouru par un courant I , placé dans un champ magnétique . 
La force de Laplace s'écrit : .

Imaginons un déplacement élémentaire  d'un point M quelconque du circuit. Le travail de la force de Laplace sera :  
 

est un vecteur dont le module est égal à l'aire engendrée par le déplacement de l'élément  du circuit.   est le flux du champ magnétique à travers cet élément de surface.   est le flux du champ magnétique à travers la surface engendré par le déplacement du circuit.

 

Ce flux est appelé flux coupé.

Calcul du flux coupé 
 

Nous considérons un circuit initialement en position 1 (surface s'appuyant sur le contour) se déplaçant dans un champ magnétique . Dans le déplacement jusqu'à sa position finale 2 (surface ), il engendre une surface latérale . Les normales sont orientées vers l'extérieur du volume délimité par l'ensemble des surfaces .  Le flux coupé est égal à

 

Or ð

On dispose de deux méthodes pour calculer le flux coupé, à partir de la définition ou en calculant la variation du flux du champ magnétique entre la position initiale du circuit et la position finale. 
Pour un déplacement du circuit ( C ) entre deux positions notées 1 et 2. 
 
Ce travail ne dépend que de la position initiale et finale, il est indépendant du déplacement réel ð il existe une énergie potentielle appelée magnétique 

2. Le phénomène d'induction

2.1. Expériences significatives 
 

On considère deux circuits, le circuit 1 est alimenté par un générateur, le circuit 2 n'est pas alimenté mais possède un galvanomètre pour détecter un courant.  Nous avons dessiné des circuits à une spire, en fait des circuits à plusieurs spires (solénoïdes) produisent des résultats quantitatifs plus significatifs.  1) nous éloignons les circuits l'un de l'autre, le galvanomètre détecte un courant dans le circuit 2 pendant le déplacement.

 

2) nous rapprochons les circuits l'un de l'autre, le galvanomètre détecte un courant de sens contraire pendant le déplacement. 
3) changer le sens du courant dans le circuit 1 change dans les expériences 1) et 2) le sens du courant dans le circuit 2. 
4) les expériences 1) et 2) peuvent être reprises avec un aimant à la place du circuit 1 ; le retournement de l'aimant (inversion des pôles) inverse le sens du courant. 
5) à l'aide d'un dispositif, nous faisons varier l'intensité du courant dans le circuit 1, le galvanomètre détecte un courant dans le circuit 2 dont le sens dépend du sens de la variation de l'intensité (augmentation ou diminution).

Les expériences 1), 2), 3) et 4) font état du déplacement relatif d'un dispositif par rapport à l'autre. Dans l'expérience 5), le phénomène est lié à la variation du champ magnétique par variation de l'intensité du courant qui le crée. 
En fait, l'expérience 5) n'est pas très différente. En effet, supposons une augmentation (ou diminution) de l'intensité du courant du circuit 1, elle produit, au niveau du circuit 2, une augmentation (ou diminution) de l'intensité du champ magnétique (créé par le circuit 1) qui provoque (induit) un courant dans le circuit 2. 
Dans les autres expériences, un rapprochement (ou éloignement) entre les circuits provoque une augmentation (ou diminution) de l'intensité du champ magnétique. La conséquence est identique, il y a induction d'un courant électrique dans le circuit 2.

Le sens du courant induit n'est pas indifférent. Dans les expériences où il y a déplacement, le sens du courant est tel que la résultante des forces de Laplace nées de ce courant s'oppose au déplacement. Dans l'expérience 5), localement le champ magnétique créé par le courant induit s'oppose au sens de la variation du champ magnétique du à la variation de courant du circuit 1. 
Ceci traduit la loi de Lenz : les effets du courant induit s'opposent aux causes qui lui on donné naissance. C'est une loi de modération, de portée très générale en Physique.

2.2. Etude théorique quantitative

2.2.1. Le circuit où le courant est induit est mobile

Le référentiel est lié au circuit 1 et nous considérons les expériences où le circuit 2 est mobile dans le champ magnétique constant créé par le circuit 1. 
Les charges (ions et électrons libres) du circuit 2 sont soumises à une force de Laplace puisqu'elles sont à vitesse . 
En ce qui concerne les ions, fixes dans la structure métallique, une réaction de la structure s'opposera à la force de Laplace. 
 

Au contraire, les électrons libres, soumis à la force de Laplace, se déplacent (courant induit ) dans la structure métallique à vitesse  par rapport au circuit 2.  Pour les porteurs mobiles au point M, la force de Laplace totale sera  où ,  et .

 

Le déplacement élémentaire de ces porteurs est .

Le travail élémentaire de la force de Laplace 

En remaniant cette dernière équation, nous obtenons 

Tout se passe comme s’il apparaissait dans le circuit 2, un champ électromoteur induit (donc une force électromotrice ).

Le déplacement  du circuit 2 a eu pour conséquence sur la charge dq à vitesse , la force de Laplace  qui engendre un mouvement supplémentaire à vitesse des porteurs mobiles du circuit 2.

est un vecteur dont le module est égal à l'aire engendrée par le déplacement de l'élément du circuit 2. est le flux du champ magnétique à travers cet élément de surface. En intégrant à tous les éléments, on obtient  
Ainsi il apparaît que la force électromotrice induite  est égale à  où est le flux du champ magnétique à travers la surface engendré par le déplacement du circuit 2. 
Ce flux a été appelé flux coupé ; il est calculable par deux méthodes (paragraphe 13).

2.2.2. Variation du champ magnétique. Loi de Faraday 
Dans le cas de l'expérience 5), la loi expérimentale de Faraday introduit une force électromotrice induite  où est le flux du champ magnétique variable à travers une surface quelconque s'appuyant sur le contour du circuit 2, le champ magnétique variable se calcule en généralisant la loi de Biot et Savart à des courants variables (cette généralisation ne pose pas de difficulté si les temps de propagation sont négligeables). 
Envisager n'importe quelle surface s'appuyant sur le contour du circuit revient à généraliser à des régimes variables la conservation du flux du champ magnétique soit 

Cette relation est connue sous le nom d'équation de Maxwell de conservation du flux du champ magnétique.

Rappelons que ð, c'est à dire que le champ magnétique dérive d'un potentiel vecteur. 
 
Ainsi, dans le cas de l'expérience 5), la loi de Faraday fait apparaître, localement, un champ électromoteur  qui met en mouvement à vitesse les porteurs mobiles par la force .

2.2.3. Champ électrique. Equation de Maxwell-Faraday

Les deux causes (champ magnétique variable et déplacement) peuvent exister en même temps, le champ électromoteur sera ð la force électromotrice induite .

Le signe moins qui apparaît dans l'expression de la force électromotrice induite rappelle la loi de Lenz, le courant induit s'oppose par ses effets à la variation de flux qui lui a donné naissance.

A ce champ électromoteur peut se superposer un champ électrostatique ou électrocinétique si bien que l'action totale sur une charge dq à vitesse  sera . 
Le rapprochement de cette dernière expression avec celle de la force de Laplace conduit à introduire, lorsqu'il y a des variations avec le temps, un champ électrique  qui conduit à  
Cette dernière relation très importante est connue sous le nom d'équation de Maxwell-Faraday.

3. Les milieux magnétiques

3.1. Dipôle magnétique

On appelle dipôle magnétique toute source de magnétisme quasi-ponctuelle, assimilable à une distribution localisée de courants dont les dimensions sont très petites devant les distances où s’exercent ses effets. 
Pour un circuit filiforme (C), parcouru par un courant I, on définit le moment magnétique par  où S est une surface quelconque s’appuyant sur le contour (C), orientée suivant la " règle du tire-bouchon ". 
Si P est un point du circuit et O un point quelconque,  et .

Pour une distribution volumique de courant, on obtient 

3.1.1. Potentiel vecteur et champ magnétique créés à grande distance 
 

O arbitraire est au voisinage du circuit.  Le potentiel vecteur en M éloigné du dipôle est égal à  Sur la dimension de S,   et

 

En coordonnées sphériques, on obtient : 
 et 

On remarque l’analogie qui peut être faite entre champ électrique d’un dipôle électrique et champ magnétique d’un dipôle magnétique (ainsi, il serait possible d’introduire un potentiel scalaire magnétique  tel que ).

3.1.2. Action d’un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique 
L’interaction entre un champ magnétique extérieur  et un circuit électrique se traduit par une énergie potentielle  où , S étant une surface s’appuyant sur le contour du circuit. 
Compte tenu des faible dimensions de ce dernier,  est quasi-uniforme sur S et . On remarque l’analogie qui peut être faite avec les résultats sur le dipôle électrique à savoir  
Dans le champ magnétique extérieur, le dipôle peut avoir un mouvement de translation (qui correspond au travail de la force résultante qui s’exerce sur le dipôle) et un mouvement de rotation (qui correspond au travail du couple  qui s’exerce sur le dipôle). 
Par analogie avec le dipôle électrique, on trouve  et 

Ces derniers résultats peuvent être démontrés en calquant la démonstration déjà présentée. Pour être plus complet, nous présentons une autre démonstration qui aurait pu être faite dans le cas du dipôle électrique. 
Pour un déplacement élémentaire  et une rotation élémentaire , on obtient : 

En considérant , on peut écrire . 
D’autre part, la variation du moment dipolaire due à la rotation est égale à . 
En remplaçant et en réorganisant dans l’expression de , on trouve : 
 et 

3.1.3. Magnéton de Bohr 
Un électron en rotation sur son orbital est analogue à un circuit de courant 

Son moment magnétique est  
Le moment cinétique  étant une constante du mouvement dans un mouvement à force centrale, on obtient : 

La Mécanique quantique introduit une quantification du moment cinétique où l’intensité du moment cinétique est égal à . 
Il apparaît une unité naturelle de moment magnétique appelée magnéton de Bohr . Dans cette formule, l nombre quantique secondaire prend toute valeur entière telle que où n est le nombre quantique principal. 
Pour un ensemble d’électrons en mouvement autour d’un noyau, la situation est plus complexe car il s’agit de faire la sommation vectorielle à tous les éléctrons. 
On obtient la relation  où  est appelé le rapport gyromagnétique. Dans le cas simple de l’électron unique, ce rapport est égal à .

3.1.4. Précession d’un moment magnétique dans un champ magnétique extérieur uniforme 
On applique le théorème du moment cinétique : , soit . 
Cette dernière relation montre que l’intensité du moment magnétique est constante () et que " l’effet d’un champ magnétique sur un moment magnétique isolé n’est pas d’orienter ce moment dans la direction du champ, mais de le faire tourner (précesser comme une toupie) autour de la direction du champ à vitesse angulaire . 
En Mécanique quantique, on montre que la projection du moment cinétique orbital sur la direction du champ magnétique est quantifiée et égale à  où  est le nombre quantique magnétique qui prend toute valeur entière telle que . Dans ces conditions, l’angle  entre les directions du moment cinétique et le champ magnétique est défini par .

3.2. Aimantation. Excitation magnétique

L’expérience (en particulier celle de Stern et Gerlach) montre qu’il convient d’introduire trois moments magnétiques permanents dans un atome :

• outre le moment magnétique orbital dû au mouvement des électrons autour du noyau,

• le moment magnétique de spin dû aux mouvements propres des électrons sur eux-mêmes ; pour ce mouvement, on doit introduire un moment cinétique propre à l’électron tel que  dont la projection suivant la direction du champ magnétique extérieure ne peut prendre que les valeurs  et  ; la projection du moment magnétique de spin, suivant la direction du champ magnétique extérieur, est égale à  où g, facteur de Landé, est très voisin de 2 pour le mouvement propre de l’électron,

• et le moment magnétique nucléaire d&uc