Exercices d’optique ondulatoire

2013-11-05 · 12 vues

Exercices d’optique ondulatoire

1) On considère le dispositif interférentiel des fentes d’Young ci-dessous où sont deux lentilles minces, convergentes, de même axe optique. On désigne par la distance focale de la lentille

Au foyer objet de la lentille , on place un écran percé d’une fente très fine, éclairée par une lampe située en amont (fente source ).
L’écran situé entre les lentilles est muni de deux ouvertures rectangulaires identiques très fines, distantes de . Les grands cotés de ces rectangles sont parallèles à la fente source . Le dispositif est dans l’air d’indice .

On examine les phénomènes qui se produisent dans le plan focal image  de la lentille . On appelle  l’abscisse d’un point  de ce plan par rapport au foyer image .
1)1) La source émet deux radiations dont les longueurs d’onde respectives sont  et .
Qu’observe t’on dans le plan  ? (on expliquera comment traiter le phénomène de diffraction)
En quels " points " du plan  le système de franges est-il complètement brouillé ?
1)2)a) On suppose maintenant que :

le spectre d’émission de la source est un spectre continu dans l’intervalle de fréquence ,
l’intensité rayonnée, dans un intervalle de fréquence , est égale à

Décrire le phénomène observé et calculer l’éclairement au point . En quels " points " du plan , l’éclairement paraît-il uniforme (le phénomène d’interférence est négligeable) ?
A.N.
1)2)b) Montrer que la condition d’uniformité de l’éclairement peut être écrite où représente la différence de temps de marches des deux rayons en . Interpréter physiquement ce résultat en introduisant la durée d’émission de la source.

| Réponse 11 | Réponse 12a | Réponse 12b |

2) On considère le dispositif interférentiel des fentes d’Young ci-dessous où sont deux lentilles minces, convergentes, de même axe optique. On désigne par la distance focale de la lentille .

On examine les phénomènes qui se produisent dans le plan focal image  de la lentille .
On appelle  l’abscisse d’un point  de ce plan par rapport au foyer image .
2)1) La source émet une radiation de longueur d’onde .
Qu’observe t’on dans le plan  ? (on expliquera comment traiter le phénomène de diffraction)
2)2) On intercale, sur le trajet de l’un des faisceaux, une lame à faces parallèles (épaisseur  ; ).
Déterminer le nombre  de franges qui ont défilé en .
2)3) A partir de cette position on tourne la lame d’un angle . Sachant que l’on peut apprécier au mieux le déplacement de 0,1 frange, avec quelle précision peut-on régler la position de la lame ?

| Réponse 21 | Réponse 22 | Réponse 23 |

3) On considère le dispositif interférentiel des fentes d’Young ci-dessous où est une lentille mince, convergente, de distance focale .

Au foyer objet de la lentille , une fente source de largeur écran émet un radiation de longueur d’onde .
Un écran situé après la lentille est muni de deux ouvertures rectangulaires identiques très fines, distantes de . Les grands cotés de ces rectangles sont parallèles à la fente source . Le dispositif est dans l’air d’indice .

On examine les phénomènes qui se produisent dans un plan  à distance  de l’écran.
3)1) Déterminer la valeur de  pour laquelle le système de franges disparaît pour la première fois ?
3)2) Pour  donné, calculer l’intensité  ainsi que le contraste.

| Réponse 31 | Réponse 32 |

4) On considère le dispositif interférentiel ci-dessous où sont deux lentilles minces, convergentes, de même axe optique. On désigne par la distance focale de la lentille .

Au foyer objet de la lentille , on place une fente source très fine (), centrée sur l’axe optique et dans le plan perpendiculaire à cet axe.
Entre les deux lentilles , on peut disposer, dans un plan perpendiculaire à l’axe optique, divers diaphragmes .
Le dispositif est dans l’air d’indice .
On examine les phénomènes qui se produisent dans le plan focal image de la lentille .

4)1) La source lumineuse est monochromatique de longueur d’onde . Le diaphragme  est constitué par deux fentes identiques, de largeur , " infiniment longue ", parallèles entre elles, dont les centres sont distants de . Le dispositif ainsi étudié est un dispositif interférentiel classique de fentes Young avec diffraction dans la direction .
Déterminer l’intensité lumineuse .
4)2) Le diaphragme est un réseau par transmission dont  désigne le nombre total d traits (ou de fentes). Ce réseau est caractérisé par son pas , distance entre les centre de deux traits (ou deux fentes) successifs.
, largeur d’une fente (ou d’un trait), est très inférieur à .
4)2)a) Pourquoi l’intensité lumineuse est inchangée si on intervertit largeur du trait et largeur de la fente.
4)2)b) Pour la source lumineuse, monochromatique de longueur d’onde , déterminer et représenter l’intensité lumineuse .
4)2)c) La source lumineuse émet deux longueurs d’onde voisines .
Décrire le phénomène observé.
On considère que deux images sont distinctes l’une de l’autre (critère de Lord Rayleigh) si le maximum principal d’intensité lumineuse correspondant à  coïncide avec le minimum le plus voisin du maximum principal correspondant à  (ou inversement).
En déduire le pouvoir de résolution  du réseau.
A.N.  ;
Déterminer le pouvoir de résolution pour le premier ordre.
4)3) On observe uniquement dans le premier ordre d’interférence.
Déterminer l’intervalle spectral  correspondant, dans le plan focal de la lentille , à une distance  des maxima de lumière.
Le montage réalisé constitue le schéma de base d’un spectroscope à réseau. La quantité  déduite de la question précédente caractérise la dispersion du système. On l’exprime, en général, en Angströms par millimètre.
Déterminer, en , la dispersion du montage réalisé, la distance focale de  étant .
4)4) On utilise maintenant une source de lumière blanche s’étendant de  à .
Déterminer la longueur occupée dans le plan d’observation par les spectres des trois premiers ordres.
Quelle difficulté va-t-on rencontrer dans l’interprétation du spectre si on observe dans les ordres supérieurs au premier ?
En se limitant au premier ordre, l’approximation de Gauss (angles petits) est-elle valable dans tout le domaine .

5) On considère le dispositif ci-contre constitué à partir de lames de verre (de même épaisseur , d’indice , décalées de ). On prendra .
Il est éclairé par un faisceau monochromatique () tombant normalement sur la face d’entrée du système. On supposera que les faces (largeur et longueur ) diffractent la lumière. (on ne tiendra pas compte d’éventuelles réflexions à l’intérieur du verre)

5)1) Montrer que l’amplitude  diffractée par le système, dans la direction , ( appartient au plan de symétrie du système) peut se mettre sous la forme d’un produit de deux fonctions caractéristiques, l’une pour la diffraction, l’autre pour l’interférence.
En déduire, pour  petit, les valeurs  correspondant à des maxima de lumière. Qu’observe-t-on ?
5)2) On donne .
Déterminer le pouvoir de résolution  de l’appareil.
5)3) On considère une lumière comportant un spectre centré sur  et de largeur .
A partir de quelle valeur , il y a-t-il recouvrement d’ordre (au voisinage de ) ?

| Réponse 51 | Réponse 52 | Réponse 53 |

6) On dispose de l’huile de cèdre transparente d’indice entre deux lames de verre identiques dont les faces en regard et semi-argentées sont parallèles, leur distance étant égale à .
On éclaire l’ensemble sous incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d’onde . Les faces et on le même facteur de réflexion et de transmission pour les intensités lumineuses (). L’œil est placé au foyer image d’un objectif qui lui permet de mettre au point dans un plan quelconque situé entre et . L’intensité lumineuse incidente sera prise comme intensité de référence.

Pour la compréhension de la figure et des réflexions successives, les rayons sont représentés inclinés : ils sont, en fait, perpendiculaires aux lames de verre ().
6)1) Donner la valeur de la différence de marche et du déphasage entre deux rayons successifs.
Calculer l’intensité lumineuse au point d’observation en fonction de .

6)2) On interpose dans l’huile des objets transparents que l’on veut examiner en contraste interférentiel. Ces objets , d’épaisseur faible , sont assimilés à des petites lames à faces parallèles d’indice voisin de . L’œil effectue la mise au point sur le plan d’un objet .

6)2)a) Donner la valeur du nouveau déphasage entre deux rayons transmis consécutifs traversant l’objet .
6)2)b) Calculer l’intensité due à la traversée de l’objet et, en admettant que est petit, montrer que est de la forme :

où sont des coefficients que l’on calculera en fonction de .
6)2)c) En définissant le contraste par la relation , montrer que .

6)2)d) Calculer la valeur de  pour une épaisseur donné  telle que  ( entier positif ou nul).
Les objets  sont-ils visibles sachant que l’observation nécessite un contraste minimum de l’ordre de 0,1 ?
On donne :  ;  ;  ;
6)2)e) Pour une variation  fixée, montrer que la valeur maximale du contraste vaut :  .
Calculer, dans ce cas, l’épaisseur minimale  observable.

7) On considère un réseau plan à transmission d’amplitude dont les " sillons " sont perpendiculaires à l’axe .
Il est éclairé, sous incidence normale, par un faisceau monochromatique (longueur d’onde ) de rayons parallèles issus d’une source ponctuelle.
7)1) On observe dans le plan focal d’une lentille convergente .

Le réseau s’étend selon de à . Déterminer la répartition d’amplitude dans le plan .
7)2) On suppose . En déduire l’éclairement dans le plan et expliquer ce que l’on observe.

| Réponse 71 | Réponse 72 |

8) Sur un axe , on considère une source lumineuse monochromatique ponctuelle . Un système optique, non absorbant, non déphasant et de grandissement unité, en fournit deux images  telles que  soit une médiatrice de . La distance  est égale à .
sont des sources secondaires émettant des vibrations lumineuses cohérentes .
On observe les interférences produites par ce dispositif dans un plan () perpendiculaire à  en , situé à distance  de la droite  telle que . On repère la position d’un point  appartenant à () par ses coordonnées  dans un repère d’origine , l’axe  étant parallèle à .
8)1)a) Montrer que l’intensité lumineuse en  voisin de  peut se mettre sous la forme ,  étant l’interfrange que l’on définira et calculera.
8)1)b) On déplace la source  parallèlement à  de sorte que  subissent le même déplacement que . Comment est modifié le système de franges ? Même question si le déplacement de  a lieu, dans les mêmes conditions, parallèlement à .
8)2) La source  est maintenant un rectangle de centre  ( sur ), de hauteur  suivant un axe  et de largeur  suivant un axe  ; Les axes  sont parallèles aux axes . Le système optique donne de  deux images égales , situées dans un même plan, parallèle au plan contenant  et à même distance de l’axe  ; soit  un point de ,  ses images à travers le système optique restent toujours à la même distance  quel que soit le point  ( étant sur la médiatrice de  parallèle à ). Soient  les coordonnées de ,  émettent deux vibrations lumineuses identiques de la forme . On pose .
On observe les interférences lumineuses produites par ce dispositif dans le plan () défini à la question 1)