Optique géométrique et Diffraction
2013-11-05 · 20 vues
Optique géométrique et Diffraction
1. Approximation " Optique géométrique "
On considère un milieu diélectrique linéaire, isotrope (qui peut être non homogène) caractérisé en chaque point par sa permittivité électrique.
On se propose d’étudier la propagation, dans ce milieu, d’ondes électromagnétiques de longueurs d’onde (lumière).
On cherche pour le champ électromagnétique des solutions sous la forme :
où 
est le module du vecteur d’onde dans le vide et 
la phase.
, 
et 
sont des fonctions à déterminer dans le cas où 
(en fait où 
reste très inférieure à toute dimension spatiale).
Le calcul, que nous ne reproduisons pas, montre que :
- 
où 
est l'indice de réfraction, 
et 
étant respectivement les intensités de vitesses de l’onde dans le vide et dans le milieu au point considéré et 
le vecteur unitaire de la direction de propagation de l'onde au point considéré,
- 
forment un triède orthogonal direct.
Les surfaces d’onde sont déterminées par 
, si bien que la direction de la propagation se confond avec la direction de .
Ainsi, localement, dans le cas où , l’onde a une structure d’onde plane.
1.2. Equation différentielle de la trajectoire d’un rayon lumineux
En différentiant l’équation , on montre que l’équation de la trajectoire du rayon lumineux obéit à l’équation : 
où 
représente l’abscisse curviligne suivant la trajectoire..
1.2.1. Milieu homogène
Pour un milieu d’indice n uniforme, on obtient 
. Le vecteur unitaire 
reste identique à lui-même quelque soit la valeur de l’abscisse curviligne : Les trajectoires suivies par la lumière dans un milieu homogène sont des droites.
1.2.2. Exemple de milieu non homogène
On considère la trajectoire d’un rayon lumineux dans le plan Oxy, l’indice n étant une fonction de y.
Dans ce cas, 
et 
.
En projetant l’équation différentielle de la trajectoire, on obtient :
ð
et 
Par suite 
, soit 
qui établit explicitement l’équation différentielle de la trajectoire du rayon lumineux.
Entre deux surfaces d’onde voisines, la variation de phase est égale à :
est, par définition, la différentielle du chemin optique (
représente le temps mis par la lumière pour aller d’une surface d’onde à l’autre).
Nous avons vu que la trajectoire de la lumière est perpendiculaire, en tout point, à la surface d’onde si bien que la longueur 
entre deux éléments correspondants de deux surfaces d’onde voisines est minimale [
(ou 
) est minimal et positif s’il est compté dans le sens de propagation de la lumière, maximal et négatif dans le sens contraire].
On appelle chemin optique entre deux points A et B d’une trajectoire suivie par un rayon lumineux, la quantité 
Le principe de Fermat exprime le caractère extrémal, par " morceau " , du chemin optique de la manière suivante : le chemin optique entre deux points A et B est stationnaire.
Il est courant de se servir du principe de Fermat comme point de départ de l’Optique géométrique.
1.3.1. Milieu homogène
Dans un milieu d’indice n uniforme, la distance qui sépare deux points d’un même rayon lumineux est minimale ð la trajectoire est la droite qui joint les deux points.
Les trajectoires suivies par la lumière dans un milieu homogène sont des droites.
1.3.2. Les lois de Descartes-Snell
 |
Sur le dessin ci-contre, est représentée la trace de la surface de séparation entre les milieux homogènes 1 et 2 d’indices respectifs  et  . Un rayon lumineux allant de A à B coupe la surface de séparation en I dont on veut déterminer la position  Ce chemin optique est stationnaire, c’est à dire que  |
et 
, vecteurs différentiels des vecteurs unitaires 
et 
des directions AI et IB, sont perpendiculaires à ces directions. Par suite, 
vecteur résultant d’un déplacement élémentaire sur la surface de séparation est dans le plan tangent en I à cette surface. Par suite, 
est colinéaire à la direction normale en I à la surface de séparation.
où 
est le vecteur unitaire de cette direction normale.
Le rayon réfracté est contenu dans le plan formé par le rayon incident et la direction normale au point d’intersection à la surface de séparation. Ce plan est appelé plan d’incidence.
Si nous multiplions scalairement par le vecteur unitaire de la direction déterminée par l’intersection du plan tangent et du plan incident, on obtient :
ð
(dans cette formule, nous avons choisi de ne pas donner de caractère algébrique aux angles 
et 
ð rayon incident et rayon réfracté sont de part et d’autre de la direction normale).
Ces résultats constituent les lois de la réfraction de Descartes-Snell.
En ce qui concerne la réflexion, c’est à dire le rayon lumineux allant de A à C, il convient de changer 
en , 
en 
et B en C.
On trouve que le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et que 
(dans cette formule, les deux angles n’ont pas de caractère algébrique ð rayon incident et rayon réfléchi sont de part et d’autre de la direction normale).
Ces résultats constituent les lois de la réflexion de Descartes-Snell.
1.3.3. Exemple de milieu non homogène
 |
Nous reprenons l’exemple du paragraphe 122 L’écriture des lois de la réfraction sur deux couches successives d’ordonnées  et  conduit à : 
|
Par suite, 
et, après différentiation,
La lumière se propage de proche en proche. L’ensemble des points d’égale perturbation lumineuse est appelée surface d’onde . Chacun des points de cette surface atteints par la lumière se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dans un milieu isotrope. La surface enveloppe de ces ondelettes forme une nouvelle surface d’onde.
Les dessins ci-dessus sont faits en supposant les milieux homogènes, c’est à dire les indices ou les intensités de vitesse de propagation uniformes dans chaque milieu.
Le dessin de droite permet de retrouver les lois de Descartes-Snell à partir du Principe de Huygens.
Les surfaces d’onde AB et CD sont des plans (ondes planes). Dans chacun des milieux notés 1 et 2, les surfaces d’onde sont parallèles les unes au autres, la distance séparant deux surfaces d’onde d’un même milieu étant 
si 
est le temps mis pour la lumière pour aller à vitesse d’une surface d’onde à l’autre.
Dans le milieu 1, la lumière parcourt la distance 
et, dans le même temps, la lumière parcourt, dans le milieu 2, la distance 
.
Des considérations géométriques simples permettent d’établir la relation 
, soit 
.
Un instrument d’optique est un assemblage de milieux " transparents " à la lumière.
Le rôle des instruments d’optique est de donner des répliques, appelées images, les plus fidèles et les plus grandes possibles des objets. Un instrument fait converger les rayons lumineux issus d’un point objet A vers un point A’. On dit que A’ est l’image de A, ou le conjugué de A, ou que l’instrument est stigmatique pour le couple de points A, A’.
Bien que ce propos ne soit pas absolu, les rayons optiques " utiles " seront peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique qui, souvent, est axe de révolution pour les instruments d’optique (on parle alors desystèmes optiques centrés).
Les détecteurs qui permettent de " visualiser " les images sont excités par l’énergie de l’onde. Le lecteur pourra se reporte au chapitre " Photométrie et détecteurs ".
1.5.1. Stigmatisme rigoureux
 |
L’objet A ponctuel est dans un milieu d’indice  , l’image ponctuelle A’ dans un milieu d’indice  . Lorsque les rayons convergent vers l’image, celle-ci est réellec’est à dire capable " d’impressionner " un détecteur. Si les rayons sont issues de A’ qui est à l’intérieur de l’instrument, l’image est dite virtuelle. Par extension, on parlera d’objet virtuel si les rayons convergent vers " l’objet A " à l’intérieur de l’instrument. |
Le principe de Fermat (nous pourrions dire aussi que A et A’ sont deux surfaces d’onde ponctuelles) impose que le chemin optique 
soit indépendant du rayon.
constitue la relation de stigmatisme pour le couple A, A’.
Le miroir plan est le seul instrument où la relation ci-dessus est parfaitement réalisée quelque soit le couple A, A’. Dans le cas de systèmes simples tels que le miroir ellipsoïdal, le miroir parabolique, le miroir sphérique ou le dioptre sphérique, cette condition est réalisée pour un couple particulier de points A, A’ appelés points d’Young ou de Weierstrass.
Le stigmatisme rigoureux ne présente qu’un intérêt limité, d’autant que pour le réaliser, dans la pratique, il faudrait empêcher le phénomène de diffraction qui élargit l’image d’un point et disposer de cellules de détection ponctuelles.
1.5.2. Stigmatisme approché
Il est possible de réaliser des instruments optiques qui vérifient la condition ci-dessus en première approximation.
Il s’agit de systèmes optiques dans lesquels on sélectionne les rayons lumineux issus de l’objet A peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique. Cette condition est appelée approximation de Gauss.
A priori, ces systèmes optiques sont à symétrie de révolution, c’est à dire nous serons dans le cadre très important des systèmes optiques centrés. Le couple A, A’ est sur l’axe optique que nous notons axe z.
Avant d’aborder l’étude des éléments constitutifs de ces systèmes optiques, il convient de savoir s’il peut y avoir conservation du stigmatisme approché dans l’espace c’est à dire existence de points conjugués en dehors de l’axe optique de façon que objet et image conjugués ne se limitent pas à des segments situés sur l’axe optique … ce qui ne présenterait guère d’intérêt.
Stigmatisme approché dans l’espace
Sur la figure ci-dessus, nous envisageons le stigmatisme pour un couple M, M’ voisins de l’axe optique et d’un couple A, A’ situé sur l’axe et vérifiant, au moins en première approximation, la relation de stigmatisme 
Pour le couple M, M’ s’il est conjugué: 
, soit encore 
- Aplanétisme : condition des sinus d’Abbe
On appelle plans frontaux des plans xy perpendiculaires à l’axe optique z.
M, M’, que nous appelons B, B’, sont dans des plans frontaux.
La condition ci-dessus devient .
Pour calculer la constante, il suffit de prendre le rayon particulier correspondant à (donc ).
On obtient la condition des sinus d’Abbe :
- Condition d’Herschel
M, M’, que nous appelons C, C’, sont sur l’axe optique.
La condition ci-dessus devient .
Pour calculer la constante, il suffit de prendre le rayon particulier correspondant à (donc ).
On obtient la condition d’Herschel :
Ces deux conditions ne peuvent être réalisées en même temps, aussi un stigmatisme tridimensionnel n’est pas possible.
1.6.1. Eléments constitutifs d’un système centré
Les éléments constitutifs sont : les miroirs plans, les miroirs sphériques, les dioptres plans et les dioptres sphériques.
Le dessin du miroir plan montre que l’image A’ (virtuel) est symétrique de l’objet A par rapport au miroir. Tout rayon issu de A passe par A’ : il y a stigmatisme rigoureux.
Le dessin du dioptre sphérique sera utilisé pour établir les " relations de conjugaison " entre les points A et A’, les résultats sont transposables sans difficulté aux autres éléments constitutifs des systèmes centrés.
Dans les triangles AIC et A’IC, on écrit les relations des sinus,
; 
ð
ð
en introduisant la relation de Descartes-Snell de la réflexion.
Cette relation doit être vérifiée quelque soit I (c’est à dire pour tout rayon lumineux) pour qu’il y ait stigmatisme pour un couple A, A’ .
- Le stigmatisme rigoureux est obtenu :
- pour tout point A sur le dioptre (A, I et A’ sont confondus)
- pour
- pour un couple de points particuliers A, A’ appelés points de Weierstrass ou d’Young situés sur l’axe optique z.
- Le stigmatisme approché est réalisé pour un couple de points A, A’ si les rayons sont peu inclinés sur l’axe optique z (approximation de Gauss) ; en première approximation, les points I peuvent être confondus avec le sommet S du dioptre sphérique.
La formule, écrite sous forme algébrique, devient .
A l’aide de la relation de Chasles, on établit les relations de conjugaison en prenant pour origine soit le sommet S, soit le centre C du dioptre : ou
Un objet perpendiculaire à l’axe optique forme une image perpendiculaire à l’axe optique.
En utilisant le rayon BC, qui n’est pas dévié à la traversée du dioptre, on calcule le grandissement linéaire
Miroir sphérique, dioptre plan et miroir plan
-
Pour le miroir sphérique, on obtient les relations de conjugaison et le grandissement à partir des résultats du dioptre sphérique en remplaçant
(cette astuce permet d’écrire les lois de la réflexion à partir de celles de la réfraction).
On obtient : ; ;
- Le dioptre plan est un dioptre sphérique de rayon infini. ;
- Le miroir plan s’obtient soit à partir du miroir sphérique, soit à partir du dioptre plan . ;
1.6.2. Eléments cardinaux d’un système centré. Construction d’images. Relations de conjugaison
Foyers, Plans focaux
On appelle foyer objet F un point de l’axe optique tel que tout rayon incident issu de F émerge après traversée du système centré parallèlement à l’axe optique. Le plan focal objet est le plan frontal Fxy.
On appelle foyer image F’ un point de l’axe optique tel que tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en convergeant vers F’. Le plan focal image est le plan frontal F’xy.
Plans principaux
Ce sont des plans frontaux conjugués tel que le grandissement 
soit égal à 1. Ils sont notés respectivement Hxy (plan principal objet) et H’xy (plan principal image).
Focales
On appelle respectivement focale objet f et focale image f’ les quantités algébriques : 
et 
.
Construction d’images
 |
Savoir construire des rayons est essentiel en Optique géométrique.
Pour le système optique l’indice est 
, pour les rayons incidents issus des objets l’indice est 
, pour les rayons émergents convergeant vers les images l’indice est 
.
Sur l’axe optique sont connus les foyers F et F’ et les points H et H’ des plans principaux objet et image : ils définissent le système optique.
- Les deux rayons les plus importants sont (BIJF’B’) et (BFI’J’B’)
(BIJF’B’) : nous partons d’un objet AB et traçons par B la parallèle à l’axe optique qui coupe le plan principal objet en I. L’image de I est J dans le plan principal image telle que par définition des plans principaux. Le rayon émergent du système optique passe par le foyer image F’ puisque le rayon incident est parallèle à l’axe optique.
(BFI’J’B’) : nous partons de B et traçons BF qui coupe le plan principal objet en I’. L’image de I’ est J’dans le plan principal image telle que . Le rayon émergent est parallèle à l’axe optique puisque l’incident passe par le foyer objet F.
L’intersection des deux rayons définit B’ et donc l’image de l’objet . L’obtention des premières relations de conjugaison relève de géométrie élémentaire : ; (relation de Newton) Il convient de ne pas oublier la très importante relation des sinus d’Abbe qui, dans le cadre de l’approximation de Gauss, est appelée relation de Lagrange-Helmholtz et s’écrit
-
Nous considérons maintenant un objet
dans le plan focal objet, son image se forme à l’infini.
Nous avons déjà tracé le rayon (CIJF’).
L’image de l’objet H est H’. Le rayon émergent à partir de H’, ayant pour incident (CH) est parallèle à JF’ de façon que l’image se forme à l’infini.
On appelle les angles de ces rayons avec l’axe optique.
La relation de Lagrange pour l’objet et son image et pour les rayons définis s’écrit ðð
Pour des milieux extrêmes identiques
En transformant la relation de conjugaison de Newton à l’aide de la relation mathématique de Chasles et en utilisant cette relation entre indices et focales, on obtient : (V est appelée la vergence du système centré et se mesure en dioptries dans le système MKS ; le système est convergent si la vergence est positive, divergent si la vergence est négative).
La relation de Lagrange-Helmholtz pour l’objet et l’image , pour le rayon incident AI et son émergent JA’ donne .
Après simplification, .
- Enfin, nous déterminons les points nodaux N et N’ qui sont deux points conjugués définis comme étant les intersections avec l’axe optique d’un incident et d’un émergent parallèle.
A partir de C nous traçons un rayon incident parallèle au rayon JF’ qui coupe le plan principal objet. L’émergent au point conjugué du plan principal image est parallèle aux deux rayons puisque l’image de l’objet est à l’infini. Les intersections avec l’axe optique de ces deux rayons donnent les points nodaux.
La connaissance des points nodaux est une façon de définir un système optique qui peut se substituer à la connaissance des plans principaux.
On remarquera que et que
Très souvent les milieux où se propagent les rayons incident et émergent sont identiques (généralement air) et 
Remarques :
- pour le dioptre sphérique ou le miroir sphérique les plans principaux sont confondus de telle sorte que 
,
- pour le dioptre sphérique ou le miroir sphérique les points nodaux sont confondus au centre C,
- pour le dioptre sphérique, les focales sont 
et 
,
- pour le miroir sphérique, les focales sont 
et 
.
1.6.3. Un exemple de système centré : la lentille mince
 |
Une lentille mince est constituée de deux dioptres sphériques comme indiqué sur la figure ci-contre où on peut faire  . Les plans principaux des deux dioptres sont des plans frontaux situés en S. Il en sera de même pour la lentille mince (  ). Un objet A donne une image A" à travers le premier dioptre qui sert d’objet à travers le deuxième dioptre pour une image A’. |
L’écriture des formules de conjugaison donne :
; 
ð
Le foyer objet et la focale objet seront déterminées par :
, le foyer image et la focale image par : 
Les constructions de rayons et les résultats sur les systèmes centrés du paragraphe précédent sont totalement transposables en faisant .
Très souvent les milieux extrêmes sont l’air ambiant (
) et l’indice du système optique est noté .
Avec ces nouvelles notations 
1.7.1. Aberration chromatique
L’indice des verres constituant les instruments optiques varie avec la fréquence de l’onde lumineuse (ce phénomène est appelé dispersion) si bien que les caractéristiques varient : on dit que l’instrument présente uneaberration chromatique.
Dans le cas d’une lentille mince, 
ð
.
Conventionnellement, on utilise les trois radiations caractéristiques suivantes : la radiation C rouge (
), la radiation F bleu-vert (
), toutes deux de l’atome d’Hydrogène) et la radiation D jaune (
) de l’atome de sodium et on définit le pouvoir dispersifK (ou son inverse le nombre d’Abbe ou constringenceA) par la relation :