Oscillateur mécanique faiblement amorti.
L'oscillateur est constitué d'un solide de masse m et d'un ressort de raideur k.
x(t) = A exp(-µ / (2m) t ) cos (Wt+ j).
A et f sont des constantes ; µ : coefficient de frottement ; W : pseudopulsation du mouvement ; w0 : pulsation propre de l'oscillateur.
Quelle est la pseudopulsation du mouvement ?
Analyse :
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
On note f = -m v la force de frottement fluide, où m est une constante et v le vecteur vitesse de la masse en translation.
Ecrire la seconde loi de newton sur un axe horizontal, orienté de gauche à droite ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort.
Décrément logarithmique de l'oscillateur précédent :
Quel est le décrément logarithmique ?
T : pseudopériode ; T0 : période propre.
Analyse :
On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension d = ln (x(t) /x(t+T)], où T désigne la pseudo-période.
x(t) = A exp(-µ / (2m) t ) cos (Wt+ j).
x(t+T) = A exp(-µ / (2m) (t+T) ) cos (W(t+T)+ j)=A exp(-µ / (2m) (t+T) ) cos (Wt+ j).
x(t) / x(t+T) = exp(-µ / (2m) t ) / exp(-µ / (2m) (t+T) ) = exp(µ / (2m) T) .
d =µ / (2m) T. ( proposition n°3 )
Bobine inductive parcourue par un courant variable i de sa borne A vers sa borne B:
Quel est la tension à ses borens ( convention récepteur ) ?
r : résistance de la bobine ; L : inductance de la bobine.
( proposition n°2 )
Dipôle RLC alimenté par une tension u(t) = Um sin (wt+j) :
A la résonance d'intensité, la tension u(t) est :
en phase avec uc(t) ; en retard de phase par rapport à i(t) ; en quadrature avance par rapport à uc(t) ; en quadrature retard par rapport à uc(t).
Oscillations entretenues d'un oscillateur RLC :
On utilise un montage à résistance négative. Les oscillations sont quasi-sinusoïdales de fréquence N. ( N0 : fréquence propre de l'oscillateur ).
Que vaut N ?
Le dispositif à résistance négative compense à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule dans le dipôle. ( proposition n°3 )
Choc élastique :
Deux particules sont animées de vitesses initiales v1 et v2, avec v1 différent de v2. Après le choc les vitesses sont v'1 et v'2, le coefficient de restitution est e =(v'2- v'1 ) / ( v2-v1 ).
Le choc est parfaitement élastique si :
e=0 ; e >0 ; e = 1 ; e est compris entre 0 et 1, bornes comprises.
Dans un choc élastique, l'énergie cinétique se conserve : e = 1.
Transformation de Lorentz :
On considère deux référentiels R et R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, à la vitesse u parallèle à l'axe Ox. Les orignes O et O' coïncident à l'origine des temps.
Une tige rigide, au repos, de longueur l0 dans le référentiel R' est disposée parallèlement à l'axe Ox.
Quelle est la longueur de la tige dans le référentiel R ?
( proposition n°3 ).
Potentiel électrostatique.
Soit une distribution de charges S répartie avec une charge volumique r uniforme, dans un fil cylindrique de rayon R.
En coordonnées cylindriques, en un poitnt M situé à la distance r de l'axe de ce fil ( r >> R et r << L, longueur du fil),
l'expression du potentiel électrostatique est :
Analyse :
flux de E à travers S.
En tout point de la surface latérale S, par raison de symètrie, le champ est radial et a même module. Le flux de ce vecteur à travers la surface latérale de longueur h est E 2pxh.
En tout point de S1 ou S2 le vecteur E est normale au vecteur surface : le flux de E est nul à travers les 2 bases.
charge intérieure au cylindre S de rayon x :
x < R : Q=px²hr ; x >= R : Q=pR²hr.
th de Gauss : E 2pxh = Q/e0.
x < R : E= xr / (2e0) ; x >= R : E= R²r / (2e0x) potentiel électrique
si x > R : V = -R²r / (2e0) ln(x) + Cte. ( proposition n°1 ).
Champ électrique créé par une sphère.
La sphère, de rayon R, est uniformément chargée de densité volumique r.
L'expression du champ électrostatique en un point M, extérieur à la sphère, est :
Analyse :
Par raison de symétrie, le champ est radial.
champ électrique :(point extérieur)
flux envoyé à travers la sphère S de rayon r : définition du flux : F= 4pr2E
th. de gauss : charge intérieure à S= charge de S =4/3 pR3r.
F= 4/(3e0) pR3r
E = R3r/(3e0r2). ( proposition n°1 ).
Deux charges identiques +Q sont distantes de "2a". Une charge +q0 se situe sur la médiatrice du segment joignant les deux charges +Q.
Quelle est la valeur de la force ressentie par la charge +q0 ?
Analyse :
( proposition n°2 ).
Un condensateur, chargé initialement sous une tension Ui, visant une tension Uf, atteindra une tension U0 au bout d'une durée Dt dont l'expression est : ( t = RC, constante de temps ).
Analyse :
u(t) = Uf - (Uf - Ui ) exp (-t/t).
u(Dt) =U0 =Uf - (Uf - Ui ) exp (-Dt/t).
(Uf - Ui ) exp (-Dt/t) = Uf - U0 ; exp (-Dt/t) = ( Uf - U0) / (Uf - Ui) ;
-Dt/t =ln [( Uf - U0) / (Uf - Ui)] ; Dt = t ln[ (Uf - Ui) / ( Uf - U0) ] ( proposition n°1 ).
Soit un condensateur sphérique constitué par deux armatures concentriques de rayons R1et R2, se trouvant aux potentiels V1 et V2 et portant les charges +Q et -Q.
La capacité du condensateur est :
Analyse :
Th. de gauss: calcul du champ puis du potentiel
flux du champ à travers la sphère S de rayon x : E 4px²= Q/e0.
E= Q/(4pe0 x²)
E=-dV/dx, puisque E ne dépend que de x
dV=Q/((4pe0 ) *dx/x² intégrer entre R1 et R2.
V2-V1=Q/((4pe0 ) [1/R2- 1/R1]
( proposition n°2 )
Par raison de symétrie, le champ est radial.
