I - La base 10:
Le système décimal comporte 10 chiffres : 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 ,8 , 9. Le nombre 4 387, par exemple, peut être décomposé ainsi:
| 4 | 3 | 8 | 7 |
| milliers | centaines | dizaines | unités |
= 4 x 103 + 3 x 102 + 8 x 101 + 7 x 100.
II - La base 2:
On dispose de 2 chiffres : 0 et 1.
--> Comment transformer un nombre d'écriture décimale en écriture binaire?
Soit, par exemple, le nombre 35 du système décimal. Décomposons ce nombre en une somme de puissances de 2, sachant que:
20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32 ....
On a 35 = 32 + 2 + 1, c'est à dire 35 = 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20.
En base 2, le nombre 35 s'écrit: 100011.
De même, 42 = 32 + 8 + 2 ---> 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 101010.
Ou encore, 200 = 128 + 64 + 8 ---> 1 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 11001000.
--> Comment transformer un nombre d'écriture binaire en écriture décimale?
Soit à convertir le nombre binaire 101.
101 = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 = 5.
De même, 10101 = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 = 1 + 4 + 16 = 21
Ou encore: 11011001101 = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 + 1 x 23 + 0 x 24 + 0 x 25 + 1 x 26 + 1 x 27 + 0 x 28 + 1 x 29 + 1 x 210 =>
11011001101 = 1 * 1 + 0 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 + 0 * 16 + 0 * 32 + 1 * 64 +1 * 128 + 0 * 256 + 1 * 512 + 1 * 1024
= 1 + 4 + 8 + 64 + 128 + 512 + 1024 = 1741.
Quelques puissances de 2:
|
20 = 1 |
24 = 16 |
28 = 256 |
212 = 4 096 |
|
21 = 2 |
25 = 32 |
29 = 512 |
213 = 8 192 |
|
22 = 4 |
26 = 64 |
210 = 1 024 |
214 = 16 384 |
|
23 = 8 |
27 = 128 |
211 = 2 048 |
215 = 32 768 |
III-Le système hexadécimal.
Ce système a une base de 16 chiffres :
|
Base 16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
Base 10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Exercices :
Écrire en base 16 les nombres de 16 à 45:
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
1E |
1F |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
2A |
2B |
2C |
2D |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
---> Comment transformer un nombre d'écriture hexadécimal en un nombre d'écriture décimal?
Soit le nombre hexadécimal 2B8.
2B8 = 8 x 160 + 11 x 161 + 7 x 162 = 8 + 176 +512 = 696.
À partir de quel nombre du système décimal a-t-on un nombre à trois chiffres dans le système hexadécimal?
Même question avec les nombre à 4 et 5 chiffres.
Dernier nombre à 2 chiffres: FF = 15x160 + 15x161 = 15 +240 = 255.
À partir du nombre décimal 256, on aura un nombre à 3 chiffres pour son expression dans le système hexadécimal. Après FF vient 100.
Dernier nombre à 3 chiffres: FFF = 15x160 + 15x161 + 15x162 = 15 + 240 + 3840 = 4 095.
1000 (hexadécimal) = 4 096 (décimal).
Dernier nombre à 4 chiffres: FFFF = 15x160 + 15x161 + 15x162 + 15x163 = 15 + 240 + 3840 + 61440 = 65 535.
10000 (hexadécimal) = 65 536 (décimal).
Exercice:
1)Convertir dans le système décimal le nombre duodécimal ( base 12 ) 8A9B3AB.
2)Quels sont les douze nombres duodécimaux qui le suivent?
1) 8A9B3AB = 11 x 120 + 10 x 121 + 3 x 122 + 11 x 123 + 9 x 124 + 10 x 125 + 8 x 126
= 11 + 120 + 432 + 19008 + 186624 + 2488320 + 23887872
= 26 582 387.
2)
|
8A9B3AB + 1 = 8A9B3B0 |
8A9B3B0 + 1 = 8A9B3B1 |
8A9B3B1 + 1 = 8A9B3B2 |
8A9B3B2 + 1 = 8A9B3B3 |
|
8A9B3B3 + 1 = 8A9B3B4 |
8A9B3B4 + 1 = 8A9B3B5 |
8A9B3B5 + 1 = 8A9B3B6 |
8A9B3B6 + 1 = 8A9B3B7 |
|
8A9B3B7 + 1 = 8A9B3B8 |
8A9B3B8 + 1 = 8A9B3B9 |
8A9B3B9 + 1 = 8A9B3BA |
8A9B3BA + 1 = 8A9B3BB |
suivi par 8A9B3BB + 1 = 8A9B400.